Analytische Bedingungen für lineare Abhängigkeit für n Vektoren im n-dimensionalen Vektorraum
- kanonische Basis des Vektorraumes
- n Vektoren (=Anzahl der Dimensionen)
Vorbedingung ist lediglich, genauso viele Vektoren, wie der Vektorraum Dimensionen hat.
für allegilt: für i = 1, 2, ..., n Gleichung (1)
Die Vektorensind als Linearkombinationen der Einheitsvektorendarstellbar.
a.) sind linear abhängig !
mit mindestens ein
:
können als Spalten einer Matrix aufgefasst werden!
( n, n )-Matrix
daraus folgtdaraus folgt A hat eine Nullspalte, daraus folgt det A = 0
Es ist mindestens ein weiteresdaraus folgt( die l-te Spalte von A ) ist ein Vielfaches der m-tem Spalte bzw. eine Linearkombination von anderen Spalten, daraus folgt
b.)sind linear unabhängig !
bilden Basis von( Vektorraum mit n Dimensionen )
für m = 1, ... , m Gleichung (2)
in (1) eingesetzt :
(1) in (2) eingesetzt :
Da dielinear unabhängig sind folgt daraus : Gleichung (3)
Fasst man dieals Werte einer Matrix dann entspricht (3)
daraus folgt : daraus folgt :
Zusammenfassung:
gilt genau dann, wenn die Zeilen ( bzw. Spalten ) von A linear abhängig sind
Die Vektorenbilden geanu dann eine Basis von, wennfür die Matrix A der Koeffizienten der Vektorengilt.