Vektorrechnung und analytische Geometrie
Ein Vektor ist ein geometrisches Objekt, dessen Eigenschaften durch seine Länge und seine Richtung bestimmt werden. Es ist wichtig nicht zu denken, es gehe um den O rt an dem er sich befindet. Dies ist lediglich bei den Ortskoordinaten eines Punktes der Fall. Bei jedem anderen Vektor spielt es absolut keine Rolle wo er sich befindet !!!
Skalarprodukt ( inneres Produkt )
Definition:
Unter dem Skalarprodukt zweier Vektorenundmit jeweils n Elementen versteht man die reelle Zahlmit
Eigenschaften des Skalarproduktes:
( Kommutativgesetz )
( Distributivgesetz )
istoderergibt sich
falls
Geometrische Interpretation des Skalarproduktes:
Betrag eines Vektors s (Länge) :Norm von a
Kosinussatz :
Zweite Definition des Skalarproduktes :
Eigenschaften:
gilt genau dann, wennundsenkrecht aufeinenander stehen (orthogonal : Die beiden Vektoren schliessen einen rechten Winkel ein )
gilt genau dann, wennundgleichgerichtet sind
gilt genau dann, wennundentgegengesetzt gerichtet sind
Allgemein gilt die Ungleichung von Schwarz-Tunjakowski :
Beweis:d.h.
Parallelogrammgleichung :
Beweis: Wäre zu kompliziert um es hier zu zeigen und ausserdem überflüssig. Wir glauben das mal einfach.