Vektorrechnung und analytische Geometrie


Ein Vektor ist ein geometrisches Objekt, dessen Eigenschaften durch seine Länge und seine Richtung bestimmt werden. Es ist wichtig nicht zu denken, es gehe um den O rt an dem er sich befindet. Dies ist lediglich bei den Ortskoordinaten eines Punktes der Fall. Bei jedem anderen Vektor spielt es absolut keine Rolle wo er sich befindet !!!



Skalarprodukt ( inneres Produkt )


Definition:

Unter dem Skalarprodukt zweier Vektorenundmit jeweils n Elementen versteht man die reelle Zahlmit



Eigenschaften des Skalarproduktes:

  1. ( Kommutativgesetz )

  2. ( Distributivgesetz )

  3. istoderergibt sich

  4. falls



Geometrische Interpretation des Skalarproduktes:

Betrag eines Vektors s (Länge) :Norm von a

Kosinussatz :

Zweite Definition des Skalarproduktes :



Eigenschaften:

  1. gilt genau dann, wennundsenkrecht aufeinenander stehen (orthogonal : Die beiden Vektoren schliessen einen rechten Winkel ein )

  2. gilt genau dann, wennundgleichgerichtet sind

  3. gilt genau dann, wennundentgegengesetzt gerichtet sind

  4. Allgemein gilt die Ungleichung von Schwarz-Tunjakowski :

    Beweis:d.h.

  5. Parallelogrammgleichung :

    Beweis: Wäre zu kompliziert um es hier zu zeigen und ausserdem überflüssig. Wir glauben das mal einfach.