Stetige Funktionen

Abbildungen und Funktionen

Definition:

Es seienM und N Mengen. Eine Abbildung f von M in N ist eine Vorschrift, durch die jedem Elementzugeordnet wird. N wird Zielmenge genannt und M Definitionsmenge

Schreibweise:

Definition:

Eine Abbildungmitheißt (reelle) Funktion.

- Definitionsbereich

bzw- Zuordnungsvorschrift

- Argument; unabdingbare Variable; Urbild von y

bzw- Bild von x unter f; abhängige Variable; Wert der Funktion an der Stelle x

- Wertebereich der Funktion f;

Beispiele für Abbildungen und Funktionen

1. 

   

   Abbildung f: M -> N ist definiert durch:

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Nicht jede Zuordnungsvorschrift definiert eine Funktion:

1. keine Funktion, denn x = 1 => y = 1 und y = -1

2. Kreisgleichung ( keine Funktion )

3. keine Funktion, da für x = 0 nicht definiert

   Funktion falls

4. keine Funktion

   Funktion falls

Definition:

Die Menge aller Punkte (x,y) mitundheißt Graph der Funktion f

Beispiele:

1. 

2. 

3. Signumfunktion:

   

Nebenbemerkung:

Lineare Abbildungen:

Eine Abbildung f: M->N heißt linear (Homomorphismus) wenn für alleundgilt:

Dies gilt nach dem ersten Gefühl für alle Geraden, was aber nicht der Fall ist, da bei Geraden mit Achsenabschnitten die Bedingungen nicht mehr erfüllt werden. D.h. nur Ursprungsgeraden sind lineare Funktionen !!!

Affine Abbildungen:

Eine affine Abbildung ist eine Abbildung, die sich aus einer linearen Abbildungund einer Translation (Achsenabschnitt) zusammensetzt.

Allgemeine Geradengleichung y = mx + b beschreibt eine affine Abbildung !

Definition:

Umkehrfunktion ( inverse Funktion )

Eine Funktion mitund, die jedemgenau daszuteilt, für welchesgilt, heißt Umkehrfunktion von

Schreibweise:

Beispiele:

1. 

   

2. 

   keine Funktion, daimmer zwei Werte zugeordnet sind => nicht umkehrbar

   Satz:

   Eine Funktionist genau dann umkehrbar, wenn jedeshöchstens einmal als Bild einesauftritt, d.h. aus

3. 

   

Umkehrfunktion bedeutet graphisch: Spiegelung an y = x