1.EXTREMWERTAUFGABE:

Ein kegelförmiges Sektglas der Seitenkante s=10cm soll so gestaltet werden, dass sein Volumen maximal ist. Wie groß sind Radius und Höhe?

Zuerst sucht man im Tafelwerk die

Formel, die das Verhältnis zwischen den

gegebenen und den gesuchten Komponenten

beschreibt. Außerdem benötigen wir die

Volumenformel des Kegels.

Man stellt die erste Formel nach der

gesuchten Größe r (Radius) um:

Nun kann man diesen Ausdruck für r² in die Volumenformel einsetzen:

Um nun das maximale Volumen zu bestimmen, bilden wir eine Funktion, durch Differenziation erhalten wir den Anstieg. Wenn dieser Null wird, ist das Maximum erreicht.

ausmultiplizieren

differenzieren

kürzen und Null setzen

|+

|:

radizieren

h=5.7735

r=8.165

Würde man also ein Sektglas wirklich so gestalten, dass es das Maximum an Volumen fasst, so würde es aussehen wie ein überdimensionales Cocktailglas.

2.EXTREMWERTAUFGABE:

Der Querschnitt eines unterirdischen Entwässerungskanals ist ein Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Seine Querschnittsfläche soll F=8m² betragen. Wie müssen die Abmessungen gewählt werden, damit der Materialbedarf minimal wird?

Umfang ¾ Rechteck: 2h+2r

Umfang Halbkreis:

Umfang insgesamt: U==

Fläche Rechteck: h 2r

Fläche Halbkreis:

Fläche insgesamt: F=

Die Bedingung ist, dass die Fläche 8m² beträgt. Man stellt die Flächenformel nach der Höhe (h) um.

|-

|: 2r

h=

Man bildet die Funktion aus der Umfangsformel und ersetzt h durch den obigen Ausdruck.

ausmultiplizieren

zusammenfassen

differenzieren

Null setzen

durch -8 teilen

Kehrwert bilden und radizieren

r=1.4968m h=1.4968m

U=10.69m

Um den minimalsten Umfang zu erreichen, müssen Radius und Höhe gleich groß sein.