Mathematik Grundkurs – Jahrgang 2002

AUFGABENSTELLUNG FÜR DIE SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG

Aufgabe 1

Gegeben ist eine Funktion f durch ihre Gleichung

Der Graph von f ist B.

1.2. Ermitteln Sie die Polstellen für f und untersuchen Sie das Verhalten der

Funktion in deren unmittelbarer Umgebung.

Berechnen Sie für B alle Achsenschnittpunkte und lokalen Extrempunkte, sowie das Verhalten im Unendlichen.

POLSTELLEN: Nenner Null setzen

Untersuchung der unmittelbaren Umgebung:

ACHSENSCHNITTPUNKTE:

y-Achsex=0

Es gibt keinen Schnittpunkt. ASP [0/n.d.]

x-Achse y=0

Px1 [0/+0.7071]

Px2 [0/-0.7071]

Für x1 und x2 wird der Nenner nicht Null, Bedingung erfüllt.

ABLEITUNGEN:

LOKALE EXTREMA:

hinreichende Bedingung untersuchen:

EP1 [-0.29289/3.414214]

EP2 [-1.70711/0.585786]

VERHALTEN IM UNENDLICHEN:

1.3. Zeichnen Sie B im Intervall -3<x<6 in ein kartesisches Koordinatensystem.

GRAPHISCHE DARSTELLUNG:

1.4. Ermitteln sie die Gleichung der Tangenten h an der Stelle x=-0.5.

Bei der Stelle x=-0.5 handelt es sich um eine Polstelle, an welche sich keine Tangente anlegen lässt. Die Tangente h existiert nicht.

1.5. Errechnen Sie den Flächeninhalt des Dreickes, welches die Tangente h mit den Koordinatenachsen bildet.

Da die Tangente h nicht existiert, kann sie auch kein Dreieck mit den Koordinatenachsen bilden. Es entsteht keine Fläche.

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion f durch ihre Gleichung der Form

und zwei Punkten A[1/-1] B[-2/0.5]

2.1. Bestimmen Sie die Parameter a und b.

:

Führen Sie in folgenden Schritten eine Kurvendiskussion durch und zeichnen Sie das Bild der Funktion in einem geeigneten Maßstab in ein kartesisches Koordinatensystem.Bestimmen Sie:

2.1.1. die Koordinaten der Achsenschnittpunkte,

Y-ACHSE: x=0 Es gibt keinen Schnittpunkt. ASP [0/n.d.]

X-ACHSE: y=0 Nullstelle bei Px [2/0]

2.1.2. das Verhalten an der Polgeraden,

POLSTELLE:

2.1.3. die lokalen Extrempunkte,

ABLEITUNGEN:

EXTREMPUNKTE:

|+

|:2 =

|mal

|- hinreichende Bedingung

erfüllt.

EP [3/ 0.037037]

2.1.4. Die Wendepunkte,

WENDEPUNKTE:

|+

|mal =

|- hinreichende Bedingung

erfüllt.

WP [4/0.03125]

2.1.5. Das Verhalten im Unendlichen,

2.1.6. Den Definitionsbereich von f.

Es befindet sich eine Definitionslücke bei x=0.

2.2. Bestimmen Sie die Maßzahl des Flächeninhaltes jener Fläche, die vom Bild der Funktion und der x-Achse im Intervall [-5;-2] eingeschlossen wird.

=

=

=

=

= =

2.3. Wiederholen Sie die Aufgabe 2.2. für das Intervall [2;c], mit c>2.

=

=

=

=

2.4. Untersuchen Sie, ob für ein Grenzwert der Maßzahl des Flächeninhaltes existiert und geben Sie ihn in einem solchen Falle an.

=

2.5. Berechnen Sie den Anstieg des Bildes der Funktion f im Schnittpunkt mit der x-Achse.

2.6. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an diesem Punkt.

P1 [2/0]

GRAPHISCHE DARSTELLUNG:

Aufgabe 3

Gegeben ist eine Funktionsschar fa durch ihre Gleichung

3.1. Untersuchen und zeichnen Sie das Bild eines Vertreters dieser Schar und zwar für den Fall a=3. Stellen Sie dazu Folgendes fest:

3.1.1. Die Koordinaten der Achsenschnittpunkte,

Y-ACHSE: x=0 y=12 ASP [0/12]

X-ACHSE: y=0 x=-2

=

quadratische Gleichung nach p-q-Formel lösen:

X2=2 x3=3

Px1 [-2/0] Px2 [2/0] Px3 [3/0]

3.1.2. Die lokalen Extrempunkte,

x1=2.527 x2=-0.527

EP1 [2.527/-1.12845] max. EP2 [-0.527/ 13.12845] min.

3.1.3. Die Wendepunkte,

x1=1 hinreichende Bedingung erfüllt

WP [1/6]

3.1.4. Den Definitionsbereich von fa,

Der Definitionsbereich ist nicht eingeschränkt

3.1.5. Das Verhalten im Unendlichen,

GRAPHISCHE DARSTELLUNG:

3.2. Die Gerade t sei die Tangente an das Bild von fa mit a=3 in Punkt P[2/0]. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Tangente in ihrer expliziten Form.

3.3. Geben Sie die Maßzahl des Inhaltes der Fläche an, die vom Bild der Funktion fa (mit a=3) und der Tandente t eingeschlossen wird.

Gleichsetzen von Funktion und Tangente, um die Integrationsgrenzen zu ermitteln:

|+4x-8 x1= 2

=

quadratische Gleichung nach p-q-Formel lösen:

x2=-1

x3=2=x1

= 6.75 FE

3.4. Führen Sie die Diskussion entsprechend Gliederungspunkt 3.1. jetzt so durch, ohne den Parameter a festzulegen.

Y-ACHSE: x=0 y= 4a ASP [0/4a]

X-ACHSE: y=0

PX1 [a/0] PX2 [2/0] PX3 [-2/0]

EXTREMA:

hinreichende Bedingung prüfen:

WENDESTELLEN:

hinreichende Bedingung erfüllt

oder

DEFINITIONSBEREICH:

Der Definitionsbereich ist nicht eingeschränkt.

VERHATEN IM UNENDLICHEN:

3.5. Interpretieren Sie zu folgenden Problemen die unter 3.4. ermittelten Formeln im Hinblick auf den Einfluss von a:

Wie ändert sich die Lage der Achsenschnittpunkte?

Entscheiden Sie, für welche a das lokale Minimum und für welche a der Wendepunkt auf der x-Achse liegen.

GRAPHISCHE DARSTELLUNG:

Der Schnittpunkt mit der y-Achse wandert mit wachsendem a immer höher. Die Nullstellen bei +2 und -2 sind bei allen Vertretern dieser Schar konstant, nur die Nullstelle x1=a ändert sich entsprechend.

MINIMUM AUF DER X-ACHSE:

a1=2 a2=-2

WENDEPUNKT AUF DER X-ACHSE:

a1=0 a2=6 a3=-6