Klausur Mathematik Grundkurs

1. Gegeben ist ein Dreieck ABC durch seine Eckpunkte A[4/-1/1], B[1/3/0],

C[-1/-1/4]

a) Fertigen Sie eine perspektivische Zeichnung an.

b) Berechnen Sie näherungsweise die Seitenlängen, die Winkel und den Flächeninhalt dieses Dreieckes!

c) Das Dreieck ABC liegt in der Ebene E. Berechnen Sie deren Einheitsnormalenvektor.

Parametergleichung:

Normalenvektor:

Normieren:

d) Wo durchstoßen die Achsen des Koordinatensystems diese Ebene?

kartesische Form:

Achsenabschnittsform:

Koordinaten: x-Achse y-Achse z-Achse

e) Welchen Abstand hat E vom Koordinatenursprung?

f) E durchdringt die y-z-Ebene in der Schnittgeraden h. Ermitteln Sie die Gleichung von h in der expliziten Form.

y-z-Ebene: x=0

g) In welchem Winkel steht E zur x-y-Ebene?

h) Wie liegt folgende Gerade g zum gegebenen Dreieck (Lagebeziehung, Winkel)?

Gleichsetzen von Ebene E und Gerade g:

3 mal 1.Zeile + 5 mal 3.Zeile = neue 1.Zeile

2 mal 1.Zeile - 15 mal 2.Zeile = neue 1.Zeile

Schneidet die Ebene im Punkt

Der Schnittpunkt liegt außerhalb des gegebenen Dreiecks ABC.

Winkel der Gerade h zum Dreieck ABC:

Dies ist der Winkel zwischen der Gerade und dem Normalenvektor der Ebene. Damit man den Winkel zwischen Gerade und Ebene erhält, muss man noch 90° abziehen.

i) Ermitteln Sie die Gleichungen der Höhe und der Mittelsenkrechten auf Seite AB. Welche Koordinaten haben die Fußpunkte P₁ und P₂dieser Linien auf der Strecke AB?

Da die Mittelsenkrechte ebenfalls orthogonal zu AB ist, kann man den gleichen Richtungsvektor wie bei der Höhe verwenden.

2. Gegeben ist ein Oktaeder durch seine Eckpunkte:

A[4/4/0] B[4/8/0] C[8/8/0] D[8/4/0] E[6/6/] F[6/6/]

a) Zeichnen Sie den Körper perspektivisch in ein Koordinatensystem.

b) Stellen Sie die Parametergleichungen der drei Geraden auf, die seine Kanten DE, CD, CE enthalten.

c) Berechnen Sie die Länge der Strecke CE.

d) Eine Ebene e₁ enthalte den Punkt C und die Strecke DE. Bestimmen Sie zu dieser Ebene zuerst eine Parametergleichung, daraus dann die Achsenabschnittsgleichung und den Einheitsnormalenvektor.

Parametergleichung:

Einheitsnormalenvektor:

Achsenabschnittsform:

e) Bestimmen sie die Gleichung der Schnittgeraden in ihrer expliziten Form!

f) Ermitteln Sie den Abstand des Punktes P₁[3/-2/10] von e₁.

g) Bestimmen Sie auch die Abstände der Punkte A, C und D von P₁ und stellen Sie fest, welche Winkel die Strecken P₁ A, P₁ C und P₁ D jeweils zueinander haben.

h) Bestimmen Sie die Eckpunkte KLMN PQRS des Würfels, der das Oktaeder derart enthält, dass die Eckpunkte des Oktaeders die Flächenmitten des Würfels berühren.