KURVENDISKUSSION MIT EINEM PARAMETER


Gegeben ist eine Funktion f durch ihre Gleichung:

Untersuchen Sie das Bild der Funktion:

Für welchen Parameter a0 ergibt sich ein Qualitätswechsel? Untersuchen Sie die Bilder mit a>a0 und a<a0 . Welche Änderungen bewirkt der Parameter a am Graphen der Funktion?



Zuerst führt man eine allgemeine Kurvendiskussion durch, indem man a in der Funktionsgleichung belässt.


ABLEITUNGEN:












Berechnung der Nullstelle: Zähler der Ausgangsfunktion Null setzen



Alle Kurven dieser Funktionsschar schneiden die x-Achse bei -1.



Berechnung von Polstellen: Nenner der Ausgangsfunktion Null setzen


Lösen mit der p-q-Formel:





Berechnung von Extremstellen: Zähler der 1.Ableitung Null setzen


mit -1 multiplizieren


Lösen mit der p-q-Formel:





Berechnung der Wendestellen: Zähler der 2.Ableitung Null setzen



Um diese Gleichung nach x umzustellen ist ein aufwendiges verfahren notwendig, was an dieser Stelle zu weit führt und für die Aufgabenstellung nicht benötigt wird.




Verhalten im Unendlichen: mit Hilfe des lim x gegen Unendlich laufen lassen




Egal wie groß bzw. klein der Parameter a wird, alle Kurven dieser Funktionsschar laufen in der Unendlichkeit gegen Null, im positiven wie im negativen Bereich.




Für welchen Parameter a0 ergibt sich ein Qualitätswechsel?


Um dies zu untersuchen, betrachtet man zunächst die allgemeine Gleichung zur Ermittlung der Polstellen:



Ein Qualitätsumschlag würde sich ergeben, wenn der Term unter der Wurzel Null ergibt. Deshalb ermittelt man den Parameter a0, für welchen dies zutrifft.



Setzt man also 4 für den Parameter a in die Ausgangsgleichung ein, so müsste sich die Kurve an dieser Stelle auffallend verändern.




Es könnte aber noch eine interessante Stelle geben, an welcher dies geschieht. Dazu betrachtet man die allgemeine Gleichung zur Ermittlung der Extremstellen:



Auch hier setzt man den term unter der Wurzel Null, um den Parameter a0 zu ermitteln.




Diese beiden soeben ermittelten Stellen bieten nun die Grundlage der weiteren Untersuchung der Funktionsschar.


Untersuchen Sie die Bilder mit a>a0 und a<a0 .


Jetzt werden konkrete Zahlen für den Parameter eingesetzt und Pol- sowie Extremstellen errechnet. Daraus ergibt sich das Bild für die einzelnen Parameter und man kann die Veränderung ablesen.




Polstellen: POL1 [2.707/n.d.]


POL2 [1.293/n.d.]

Extremstellen: EP1 [1.9155/-5.915]


EP2 [-3.915/-0.083]



Polstellen: POL1 [ 2 /n.d.]


Extremstellen: EP1 = POL1 [ 2 /n.d.]


EP2 [-4/-0.083]



Polstellen: keine Polstellen


Extremstellen: EP1 [2.082/6.082]


EP2 [-4.082/-0.082]




An der Grafik erkennt man, dass alle Kurven mit a < 4 (dunkelblau dargestellt) zwei Polstellen besitzen. Diese Kurven nähern sich den Polgeraden immer von der einen Seite im positiven und von der anderen Seite im negativen Bereich.



Ist a = 4 (pink dargestellt), so gibt es nur noch eine Polstelle, an welche sich die Kurve von beiden Seiten im positiven Bereich nähert.



Alle Kurven mit a > 4 (hier hellblau dargestellt) besitzen keine Polstelle mehr.









Polstellen: POL1 [5.0822/n.d.]


POL2 [-1.0822/n.d.]

Extremstellen: Keine Extrema



Polstellen: POL1 [ -1 /n.d.]

POL2 [ 5 /n.d.]


Extremstellen: EP1 = POL1 [ -1 /n.d.]




Polstellen: POL1 [4.9155/n.d.]

POL2 [-0.9155/n.d.]

Extremstellen: EP1 [-0.293/-0.218]


EP2 [-1.707/-0.135]




An der Grafik erkennt man, dass alle Kurven

mit a < -5 (dunkelblau dargestellt) zwei Polstellen, aber keine Extrem-stellen besitzen.



Ist a = -5 (pink dargestellt), so gibt es nur eine Extremstelle, welche allerdings mit der Polstelle übereinstimmt und somit eine Definitionslücke ist.



Alle Kurven mit

a > -5 (hier hellblau dargestellt) haben keine Polstelle mehr, besitzen aber zwei Extrem-stellen.



Welche Änderungen bewirkt der Parameter a am Graphen der Funktion?


Zunächst fasst man alle Erkenntnisse übersichtlich zusammen:




Graphische Darstellung mit a von -10 bis +10





alle Kurven mit a < -5 hier hellblau dargestellt


alle Kurven mit -5 < a < 4 hier dunkelblau dargestellt


alle Kurven mit a < 4 hier rosa dargestellt


die Kurven mit a = -5 und a = 4 sind dunkelrot dargestellt