DIE PARTIELLE INTEGRATION
Die Integration eines Produktes von Funktionen ist nicht einfach, für das Verfahren verwenden wir die Produktregel der Differentialrechnung.
Überlegungen für unbestimmte Integrale:
Die Ableitung der Stammfunktion F(x)= u(x) v(x) dx ist die Ausgangsfunktion
f(x)= u(x) v'(x) + u'(x) v(x). Durch Integration erhält man daraus:
Da , folgt:
|
BEDINGUNGEN: u,v im Intervall (a,b) differenzierbar
u',v' im Intervall (a,b) stetig
Die Anwendung dieses Satzes nennt man partielle Integration, um anzudeuten, dass ein Restintegral bleibt. Man integriert nur teilweise partiell. Dieses Restintegral ist entweder ein uns bekanntes Grundintegral oder muss weiter bearbeitet werden.
1.BEISPIEL: im Intervall (0,4)
ableiten:
integrieren:
In die obige Formel einsetzen:
[ x^6 Potenzen zusammenfassen ]
Damit gilt:
= 4987.26 FE
2.BEISPIEL: v=-x v'=-1 u'=cosx u= sinx
ZU BEACHTEN: Die Funktion, die nach mehrmaligem Ableiten Null wird, ist immer die Funktion v(x)!
Einsetzen in die formel der partiellen Integration:
PROBE: =
Das kontrollierende Differenzieren am Ende bestätigt das Ergebnis, die beiden letzten Terme entfallen und es bleibt die Ausgangsfunktion: (-x cosx)
3.BEISPIEL: v=x v'=1 u'= u=
Beim unbestimmten Integrieren, z.B. vonmuss man die innere Ableitung beachten. Denn beim Differenzieren entsteht ein störender Faktor:
f(x) = f'(x) = Um den Faktor bei der gegenläufigen Operation aufzuheben,lautet die innere Integration .
PROBE:
Der erste und der dritte Term heben sich auf und im zweiten kürzen sich die 2en weg, somit ist auch dieses ergebnis eindeutig bestätigt.
4.BEISPIEL: DIE DREIFACHE PARTIELLE INTEGRATION
3.Teil: v=v'=
u'=u=
=
PROBE:
Erster und dritter Term heben sich auf.
=
PROBE:
Erster und vierter, dritter und fünfter Term heben sich auf.
1.Teil:-
PROBE:
Erster/ Vierter,dritter/sechster,fünfter/siebenter Term heben sich auf.