Mathematik 2.Semester - 1.Übung

Aufgabe 1:

Man entscheide ob folgende Mengen von (2,1 ) -Matrizen der Form

Vektorräume über dem Körper der reellen Zahlen bilden:

a)

b) (Hinweis: Mit Hilfe der Teilraumbedingungen überprüfen!)

Lösung:

a)

a ist eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft. Da beliebig und , entspricht die Gerade der y - Achse. Diese Gerade bildet einen eindimensionaler Vektorraum da sie durch den Ursprung verläuft. Die Matrix stellt also einen Vektorraum dar.

b)

Diese Gerade enthält den Koordinatenursprung nicht, sie kann also auch keinen Vektorraum darstellen.

Aufgabe 2:

Überprüfen Sie folgende Vektoren auf lineare Unabhängigkeit:

a)

Lösung:

(1.)

(2.)

(3.)

Additionsverfahren:

(2.) mit 3 Multiplizieren und (3.) mit 2 Multiplizieren

(2´.)

(3´.)

(3´.) von (2´.) subtrahieren

daraus ergibt sich, dass ist.

in (2´.) einsetzen.

in (1.) einsetzen.

Die 3 Vektoren sind linear unabhängig, weil mindestens einer der drei Faktoren Lambda, my oder ny von 0 verschieden sein muss.

RAUCHERPAUSE !!!

b)

Lösung:

(1.)

(2.)

(3.)

(2.) mit 2 multiplizieren

(2´.)

(1.) von (2´.) subtrahieren

(2´´.)

(3.) von (2´´.) subtrahieren

in (3.) einsetzen

in (1.) einsetzen

Die 3 Vektoren sind linear unabhängig, weil mindestens einer der drei Faktoren Lambda, my oder ny von 0 verschieden sein muss.

c)

Lösung:

Betrachtet man diese 5 Vektoren als Matrix, so ergibt sich eine Nullzeile. Daraus ergibt sich, dass die Determinante der Matrix gleich Null also singulär ist. Singuläre Matrizen sind linear abhängig. Das bedeutet die Vektoren sind linear abhängig.

d)

Lösung:

5 Vektorelemente bedeuten 5 Vektorraumdimensionen. Wir haben hier also 6 Vektoren in 5 Dimensionen, diese können nicht mehr linear unabhängig sein. Es handelt sich also um ein überbestimmtes Gleichungssystem ( mehr Gleichungen als Variablen ). Die Vektoren sind linear abhängig.